English+GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Helmert-Transformation</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Helmert-Transformation</span></h1>

</header>

</div>

<p>Die <b>Helmert-Transformation</b> (nach <a href="Friedrich_Robert_Helmert" title="Friedrich Robert Helmert">Friedrich Robert Helmert</a>, 1843–1917), auch <b>7-Parameter-Transformation</b> genannt, ist eine <a href="Koordinatentransformation" title="Koordinatentransformation">Koordinatentransformation</a> für <a href="Dreidimensional" class="mw-redirect" title="Dreidimensional">dreidimensionale</a> <a href="Kartesische_Koordinaten" class="mw-redirect" title="Kartesische Koordinaten">kartesische Koordinaten</a>, die in der <a href="Geod%C3%A4sie" title="Geodäsie">Geodäsie</a> häufig zur <a href="Verzerrung_(Kartografie)" title="Verzerrung (Kartografie)">verzerrungs</a>freien Umrechnung von einem in ein anderes, ebenfalls dreidimensionales System genutzt wird:

</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{T}=C+\mu RX}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{T}=C+\mu RX}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f56f23b76a44e1d5c82dbb126473071951a1431.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.164ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle X_{T}=C+\mu RX}" loading="lazy"></span>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{T}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b14f78347fa26441aac6849039d45834e6495aa0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.314ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{T}}" loading="lazy"></span> … transformierter Vektor</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> … Ausgangsvektor</li></ul>

<p>Die sieben <a href="Parameter_(Mathematik)" title="Parameter (Mathematik)">Parameter</a> sind:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span> … Verschiebungsvektor. Enthält die drei <a href="Parallelverschiebung" title="Parallelverschiebung">Verschiebungen</a> entlang der Koordinatenachsen</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"></span> … <a href="Ma%C3%9Fstabsfaktor" title="Maßstabsfaktor">Maßstabsfaktor</a></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"></span> … Drehmatrix. Besteht aus drei Drehwinkeln (<a href="Drehung" title="Drehung">Drehungen</a> um die <a href="Koordinate" class="mw-redirect" title="Koordinate">Koordinatenachsen</a>) r<sub>x</sub>, r<sub>y</sub>, r<sub>z</sub>. Die Drehmatrix ist eine <a href="Orthogonalmatrix" class="mw-redirect" title="Orthogonalmatrix">Orthogonalmatrix</a>.</li></ul>

<p>Damit ist die Helmert-Transformation eine <a href="%C3%84hnlichkeitsabbildung" title="Ähnlichkeitsabbildung">Ähnlichkeitstransformation</a>. Sie ist eine Spezialisierung der <a href="Galilei-Transformation" title="Galilei-Transformation">Galilei-Transformationen</a>, zu denen unter anderem <a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affine</a> und <a href="Projektive_Transformation" class="mw-redirect" title="Projektive Transformation">projektive Transformationen</a> gehören; letztere verzerren allerdings die Streckenlängen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnung_der_Parameter">Berechnung der Parameter</h2></div>

<p>Wenn die <a href="Transformationsparameter" title="Transformationsparameter">Transformationsparameter</a> unbekannt sind, können sie über identische Punkte (also Punkte, deren Koordinaten vor und nach der Transformation bekannt sind) berechnet werden. Da insgesamt 7 Parameter (3 Verschiebungen, 1 Maßstab, 3 Verdrehungen) zu bestimmen sind, müssen zumindest 2 Punkte und von einem 3. Punkt eine Koordinate (z. B. die z-Koordinate) bekannt sein. Damit entsteht ein <a href="Lineares_Gleichungssystem" title="Lineares Gleichungssystem">Gleichungssystem</a> mit sieben Gleichungen und ebenso vielen Unbekannten, das gelöst werden kann.

</p><p>In der Praxis werden üblicherweise mehr Punkte verwendet. Durch diese Überbestimmung erhält man erstens eine Kontrolle über die Richtigkeit der verwendeten Punkte und zweitens die Möglichkeit einer statistischen Beurteilung des Ergebnisses. Die Berechnung erfolgt in diesem Fall mit einer <a href="Ausgleichsrechnung" class="mw-redirect" title="Ausgleichsrechnung">Ausgleichsrechnung</a> nach der gaußschen <a href="Methode_der_kleinsten_Quadrate" title="Methode der kleinsten Quadrate">Methode der kleinsten Quadrate</a>.

</p><p>Um numerisch günstige Werte für die Berechnung der Transformationsparameter zu erhalten, werden die Berechnungen mit Koordinatendifferenzen, bezogen auf den <a href="Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel">Mittelwert</a> der gegebenen Punkte, durchgeführt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zweidimensionaler_Fall">Zweidimensionaler Fall</h2></div>

<p>Ein Spezialfall ist die <a href="Zweidimensional" class="mw-redirect" title="Zweidimensional">zweidimensionale</a> Helmert-Transformation für ebene <a href="Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Koordinatensysteme</a>. Verwendet wird sie u. a. in der <a href="Geod%C3%A4sie" title="Geodäsie">Geodäsie</a>, wenn ein kleinräumiges <a href="Vermessungsnetz" class="mw-redirect" title="Vermessungsnetz">Vermessungsnetz</a> mit Überbestimmung ans Landeskoordinatensystem angeschlossen wird, oder in der <a href="Astrometrie" title="Astrometrie">Astrometrie</a> zur einfachen <a href="Plattenreduktion" title="Plattenreduktion">Plattenreduktion</a> bei gut maßhältigen Fotoplatten. Die Transformation entspricht einer <a href="Drehstreckung" title="Drehstreckung">Drehstreckung</a> mit <a href="Parallelverschiebung" title="Parallelverschiebung">Parallelverschiebung</a> in beliebige Richtung.

</p><p>Sie benötigt statt 7 nur 4 <a href="Transformationsparameter" title="Transformationsparameter">Transformationsparameter</a>, nämlich 2 Verschiebungen, 1 <a href="Ma%C3%9Fstabsfaktor" title="Maßstabsfaktor">Maßstabsfaktor</a> und 1 Verdrehung. Die Berechnung dieser 4 Parameter erfordert zwei identische Punkte in den beiden Koordinatensystemen; sind mehr Punkte gegeben, erfolgt wiederum eine Ausgleichung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung">Anwendung</h2></div>

<p>Die Helmerttransformation wird unter anderem in der <a href="Geod%C3%A4sie" title="Geodäsie">Geodäsie</a> angewendet, um Koordinaten der Punkte von einem Koordinatensystem in ein anderes zu transformieren. Damit ist z. B. die Umrechnung von Punkten der regionalen <a href="Landesvermessung" title="Landesvermessung">Landesvermessung</a> in das für <a href="Global_Positioning_System" title="Global Positioning System">GPS</a>-Ortungen benutzte <a href="WGS84" class="mw-redirect" title="WGS84">WGS84</a> möglich.

</p><p>Dabei werden die <a href="Gau%C3%9F-Kr%C3%BCger-Koordinate" class="mw-redirect" title="Gauß-Krüger-Koordinate">Gauß-Krüger-Koordinaten</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ea0abffd33a692ded22accc104515a032851dff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.519ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,y}" loading="lazy"></span> plus der Höhe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"></span> schrittweise in 3D-Werte umgerechnet:

</p>

<ol><li>Berechnung der ellipsoidischen Breite, Länge und Höhe (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B,L,H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B,L,H}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19145ccfed3786744b7eb717bff79bcbbd586e4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.478ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B,L,H}" loading="lazy"></span>)</li>

<li>Berechnung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,Y,Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,Y,Z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcf4a8b48db1a32d24aabe164b07744069093225.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.502ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,Y,Z}" loading="lazy"></span> bezüglich des <a href="Referenzellipsoid" title="Referenzellipsoid">Referenzellipsoides</a> der Landesvermessung</li>

<li><b>7-Parameter-Transformation</b> (wodurch sich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,Y,Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,Y,Z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcf4a8b48db1a32d24aabe164b07744069093225.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.502ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,Y,Z}" loading="lazy"></span> fast gleichmäßig um maximal einige hundert Meter ändern und die Strecken um einige mm pro km).</li>

<li>Rücktransformation in ellipsoidische Breite, Länge und Höhe</li></ol>

<p>Dadurch werden <a href="Terrestrisch" title="Terrestrisch">terrestrisch</a> vermessene <a href="Geographische_Koordinaten" title="Geographische Koordinaten">Positionen</a> mit GPS-Daten vergleichbar; letztere können – in umgekehrter Reihenfolge transformiert – als neue Punkte in die Landesvermessung eingebracht werden.

</p><p>Der 3. Schritt (die Helmert-Transformation) besteht in der Anwendung einer <a href="Drehmatrix" title="Drehmatrix">Drehmatrix</a>, der Multiplikation mit einem <a href="Ma%C3%9Fstabsfaktor" title="Maßstabsfaktor">Maßstabsfaktor</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu =1+m/10^{6}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =1+m/10^{6}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8efa2acee755e2b24b9fcd5c3ec29457d4c7d90.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.085ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mu =1+m/10^{6}}" loading="lazy"></span> (µ liegt nahe beim Wert 1) und der Addition einer Verschiebung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Da die Teiloperationen dieser Transformation allesamt nur kleine Änderungen bewirken, können die Koordinaten eines Referenzsystems <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span> durch folgende Formel aus dem Referenzsystem <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> hergeleitet werden:

</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{B}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\mu \cdot {\begin{bmatrix}1&r_{z}&-r_{y}\\-r_{z}&1&r_{x}\\r_{y}&-r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{A}}">

<msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{B}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\mu \cdot {\begin{bmatrix}1&r_{z}&-r_{y}\\-r_{z}&1&r_{x}\\r_{y}&-r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{A}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/241475cdfaba2a573f04339b5d8245e829ce052a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:51.63ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{B}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\mu \cdot {\begin{bmatrix}1&r_{z}&-r_{y}\\-r_{z}&1&r_{x}\\r_{y}&-r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{A}}" loading="lazy"></span>

</p><p>wobei die Drehwinkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{x}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3705946c668b0bd4b21e7c19b95bb6ed05ea4ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.221ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{x}}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{y}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49e52760272851bdfd60c01877ee11bfc1857a60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.098ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r_{y}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{z}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{z}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07006192648caeccd5ad603f234b1f11e2e40b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.05ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{z}}" loading="lazy"></span> mit ihrem Wert im Bogenmaß einzusetzen sind.

</p><p>Oder für jede einzelne Komponente:

</p>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&X_{B}=c_{x}+\mu \cdot (X_{A}+r_{z}\cdot Y_{A}-r_{y}\cdot Z_{A})\\&Y_{B}=c_{y}+\mu \cdot (-r_{z}\cdot X_{A}+Y_{A}+r_{x}\cdot Z_{A})\\&Z_{B}=c_{z}+\mu \cdot (r_{y}\cdot X_{A}-r_{x}\cdot Y_{A}+Z_{A})\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a9b5a9a484f76149325fb047470b606a993c1c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:40.842ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&X_{B}=c_{x}+\mu \cdot (X_{A}+r_{z}\cdot Y_{A}-r_{y}\cdot Z_{A})\\&Y_{B}=c_{y}+\mu \cdot (-r_{z}\cdot X_{A}+Y_{A}+r_{x}\cdot Z_{A})\\&Z_{B}=c_{z}+\mu \cdot (r_{y}\cdot X_{A}-r_{x}\cdot Y_{A}+Z_{A})\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Für die Rücktransformation werden alle Parameter mit −1 multipliziert.

</p><p>Die 7 Parameter werden für die jeweilige <a href="Region" title="Region">Region</a> (<a href="Vermessung" title="Vermessung">Vermessungseparat</a>, <a href="Bundesland_(Deutschland)" class="mw-redirect" title="Bundesland (Deutschland)">Bundesland</a> etc.) mit 3 oder mehr „identischen Punkten“ beider Systeme bestimmt. Bei Überbestimmung werden die kleinen Widersprüche (meist nur einige cm) durch Ausgleichung nach der <a href="Methode_der_kleinsten_Quadrate" title="Methode der kleinsten Quadrate">Methode der kleinsten Quadrate</a> ausgeglichen – das heißt, auf die statistisch plausibelste Weise beseitigt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Standardparametersätze"><span id="Standardparameters.C3.A4tze"></span>Standardparametersätze</h2></div>

<th>Gebiet

</th>

<th>Startsystem

</th>

<th>Zielsystem

</th>

<th>c<sub>x</sub> (Meter)

</th>

<th>c<sub>y</sub> (Meter)

</th>

<th>c<sub>z</sub> (Meter)

</th>

<th>m (<a href="Parts_per_million" title="Parts per million">ppm</a>)

</th>

<th>r<sub>x</sub> (<a href="Bogensekunde" class="mw-redirect" title="Bogensekunde">Bogensekunde</a>)

</th>

<th>r<sub>y</sub> (<a href="Bogensekunde" class="mw-redirect" title="Bogensekunde">Bogensekunde</a>)

</th>

<th>r<sub>z</sub> (<a href="Bogensekunde" class="mw-redirect" title="Bogensekunde">Bogensekunde</a>)

</th></tr>

<tr>

<th><span style="display:none">England</span><span class="mw-image-border noviewer" typeof="mw:File"><a href="England" title="England"></a></span> <a href="England" title="England">England</a><br><span style="display:none">Schottland</span><span class="mw-image-border noviewer" typeof="mw:File"><a href="Schottland" title="Schottland"></a></span> <a href="Schottland" title="Schottland">Schottland</a><br><span style="display:none">Wales</span><span class="mw-image-border noviewer" typeof="mw:File"><a href="Wales" title="Wales"></a></span> <a href="Wales" title="Wales">Wales</a>

</th>

</td>

</td>

<td>−446,448

</td>

<td>125,157

</td>

<td>−542,06

</td>

<td>20,4894

</td>

<td>0,1502

</td>

<td>0,247

</td>

<td>0,8421

</td></tr>

<tr>

<th><span style="display:none">Irland</span><span class="mw-image-border noviewer" typeof="mw:File"><a href="Irland" title="Irland"></a></span> <a href="Irland" title="Irland">Irland</a>

</th>

<td>Ireland 1965

</td>

<td>−482,53

</td>

<td>130,596

</td>

<td>−564,557

</td>

<td>−8,15

</td>

<td>−1,042

</td>

<td>−0,214

</td>

<td>−0,631

</td></tr>

<tr>

<th><span style="display:none;">Deutschland</span><span class="mw-image-border noviewer" typeof="mw:File"><a href="Deutschland" title="Deutschland"></a></span> <a href="Deutschland" title="Deutschland">Deutschland</a>

</th>

<td><a href="Deutsches_Hauptdreiecksnetz" title="Deutsches Hauptdreiecksnetz">DHDN/Potsdam 2001</a>

</td>

<td>−598,1

</td>

<td>−73,7

</td>

<td>−418,2

</td>

<td>−6,7

</td>

<td>0,202

</td>

<td>0,045

</td>

<td>−2,455

</td></tr>

<tr>

<th><span style="display:none;">Deutschland</span><span class="mw-image-border noviewer" typeof="mw:File"><a href="Deutschland" title="Deutschland"></a></span> <a href="Deutschland" title="Deutschland">Deutschland</a>

</th>

<td><a href="Deutsches_Hauptdreiecksnetz" title="Deutsches Hauptdreiecksnetz">Pulkowo S42/83 2001</a>

</td>

<td>−24,9

</td>

<td>126,4

</td>

<td>93,2

</td>

<td>−1,01

</td>

<td>−0,063

</td>

<td>−0,247

</td>

<td>−0,041

</td></tr>

<tr>

<th><span style="display:none">Osterreich</span><span class="mw-image-border noviewer" typeof="mw:File"><a href="%C3%96sterreich" title="Österreich"></a></span> <a href="%C3%96sterreich" title="Österreich">Österreich</a>

</th>

</td>

<td>−577,326

</td>

<td>−90,129

</td>

<td>−463,919

</td>

<td>−2,423

</td>

<td>5,137

</td>

<td>1,474

</td>

<td>5,297

</td></tr>

<tr>

<th><span style="display:none;">Schweiz</span><span typeof="mw:File"><a href="Schweiz" title="Schweiz"></a></span> <a href="Schweiz" title="Schweiz">Schweiz</a>

</th>

</td>

<td>−674.374

</td>

<td>−15.056

</td>

<td>−405.346

</td>

<td>0

</td>

<td>0

</td>

<td>0

</td>

<td>0

</td></tr>

<tr>

<th><span style="display:none">Vereinigte Staaten</span><span class="mw-image-border noviewer" typeof="mw:File"><a href="Vereinigte_Staaten" title="Vereinigte Staaten"></a></span> <a href="Vereinigte_Staaten" title="Vereinigte Staaten">Vereinigte Staaten</a>

</th>

<td>Clarke 1866

</td>

<td>8

</td>

<td>−160

</td>

<td>−176

</td>

<td>0

</td>

<td>0

</td>

<td>0

</td>

<td>0

</td></tr></tbody></table>

<p>Bei den Beispielen handelt es sich um Standardparametersätze für die 7-Parameter-Transformation (oder: Datumstransformation) zwischen zwei Ellipsoiden. Für die Transformation in der Gegenrichtung muss bei allen Parametern das <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> geändert werden. Die Drehwinkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{x}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3705946c668b0bd4b21e7c19b95bb6ed05ea4ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.221ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{x}}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{y}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49e52760272851bdfd60c01877ee11bfc1857a60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.098ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r_{y}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{z}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{z}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07006192648caeccd5ad603f234b1f11e2e40b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.05ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{z}}" loading="lazy"></span> werden manchmal auch als κ, φ und ω bezeichnet. Die Datumstransformation von WGS84 nach Bessel ist für Mitteleuropa insofern interessant, als sich die GPS-Technologie auf das WGS84-Ellipsoid bezieht, das in Deutschland und Österreich verbreitete Gauß-Krüger-Koordinatensystem in der Regel jedoch auf das Ellipsoid nach Bessel.

</p><p>Da die Erde keine perfekte Ellipsoid-Form hat, sondern als <a href="Geoid" title="Geoid">Geoid</a> beschrieben wird, genügt für eine Datumstransformation mit Vermessungsgenauigkeit der Standardparametersatz nicht. Die Geoidform der Erde wird stattdessen durch eine Vielzahl von Ellipsoiden beschrieben. Je nach tatsächlichem Standort werden die Parameter des „lokal bestangleichenden Ellipsoiden“ verwendet. Diese Werte können stark von den Standardwerten abweichen und führen in der Transformationsrechnung in der Regel zu signifikanten Änderungen des Ergebnisses.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einschränkungen"><span id="Einschr.C3.A4nkungen"></span>Einschränkungen</h2></div>

<p>Da die Helmert-Transformation nur <i>einen</i> Maßstabsfaktor kennt, kann sie als Ähnlichkeitstransformation nicht verwendet werden für:

</p>

<ul><li>Die <a href="Entzerrung_(Fotografie)" title="Entzerrung (Fotografie)">Entzerrung</a> von <a href="Messbild" title="Messbild">Messbildern</a> oder <a href="Fotografie" title="Fotografie">Fotos</a>, hier ist eine <a href="Projektive_Transformation" class="mw-redirect" title="Projektive Transformation">projektive Transformation</a> oder die fotogrammetrische <a href="Rektifizierung" title="Rektifizierung">Rektifizierung</a> anzuwenden;</li>

<li>Die Ausgleichung eines <a href="Papierverzug" title="Papierverzug">Papierverzugs</a> beim <a href="Scanner_(Datenerfassung)" title="Scanner (Datenerfassung)">Scannen</a> von alten Plänen und <a href="Landkarte" class="mw-redirect" title="Landkarte">Landkarten</a>. In diesen Fällen ist eine <a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affine Transformation</a> zu verwenden.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Bezugssystem" title="Bezugssystem">Bezugssystem</a>, <a href="Global_Positioning_System" title="Global Positioning System">Global Positioning System</a>, <a href="Galileo_(Satellitennavigation)" title="Galileo (Satellitennavigation)">Galileo</a></li>

<li><a href="Ingenieurgeod%C3%A4sie" title="Ingenieurgeodäsie">Ingenieurgeodäsie</a>, <a href="Photogrammetrie" title="Photogrammetrie">Photogrammetrie</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://diegeodaeten.de/quaternionentransformation.html">Quaternionentransformation</a> zur Bestimmung der 7 Parameter einer räumlichen Helmert-Transformation (Online-Rechner)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://helmparms3d.sourceforge.net/">helmparms3d</a> Bestimmung der 7 Parameter einer 3d Helmert-Transformation (#c Library)</li>

<li>Stefan A. Voser: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mapref.org/savpub/Voser1996-GeometrischeAnforder.html">Geometrische Anforderungen beim Datenaustausch</a> 1996</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://crs.bkg.bund.de/crseu/crs/descrtrans/eu-descrtrans.php?crs_id=REVfREhETiAvIEdLXzM=&op_id=REVfREhETiAod2hvbGUgY291bnRyeSwgMjAwMSkgdG8gRVRSUzg5&tr_one=0">Parameterwerte der Helmert-Transformation DHDN zu ETRS89</a></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-12-17" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Helmert-Transformation&oldid=262494995">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>